3.159 \(\int \frac{(a+a \sec (e+f x))^{3/2}}{(c+d \sec (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=310 \[ \frac{a^2 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) \tan (e+f x)}{4 c^2 f (c+d)^2 \sqrt{a \sec (e+f x)+a} (c+d \sec (e+f x))}+\frac{a^{5/2} \left (-15 c^2 d+3 c^3-20 c d^2-8 d^3\right ) \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a} \sqrt{c+d}}\right )}{4 c^3 \sqrt{d} f (c+d)^{5/2} \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{2 a^{5/2} \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{c^3 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c f (c+d) \sqrt{a \sec (e+f x)+a} (c+d \sec (e+f x))^2} \]

[Out]

(2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*
Sec[e + f*x]]) + (a^(5/2)*(3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sq
rt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*c^3*Sqrt[d]*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f
*x]]) + (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(2*c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(3*c
^2 - 7*c*d - 4*d^2)*Tan[e + f*x])/(4*c^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.341704, antiderivative size = 310, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.222, Rules used = {3940, 151, 156, 63, 206, 208} \[ \frac{a^2 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) \tan (e+f x)}{4 c^2 f (c+d)^2 \sqrt{a \sec (e+f x)+a} (c+d \sec (e+f x))}+\frac{a^{5/2} \left (-15 c^2 d+3 c^3-20 c d^2-8 d^3\right ) \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a} \sqrt{c+d}}\right )}{4 c^3 \sqrt{d} f (c+d)^{5/2} \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{2 a^{5/2} \tan (e+f x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a}}\right )}{c^3 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a \sec (e+f x)+a}}+\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c f (c+d) \sqrt{a \sec (e+f x)+a} (c+d \sec (e+f x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3,x]

[Out]

(2*a^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]/Sqrt[a]]*Tan[e + f*x])/(c^3*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*
Sec[e + f*x]]) + (a^(5/2)*(3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*ArcTanh[(Sqrt[d]*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]])/(Sq
rt[a]*Sqrt[c + d])]*Tan[e + f*x])/(4*c^3*Sqrt[d]*(c + d)^(5/2)*f*Sqrt[a - a*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f
*x]]) + (a^2*(c - d)*Tan[e + f*x])/(2*c*(c + d)*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x])^2) + (a^2*(3*c
^2 - 7*c*d - 4*d^2)*Tan[e + f*x])/(4*c^2*(c + d)^2*f*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]*(c + d*Sec[e + f*x]))

Rule 3940

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Di
st[(a^2*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((a + b*x)^(m - 1/2)*(c
+ d*x)^n)/(x*Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2]

Rule 151

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_Symb
ol] :> Simp[((b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*
f)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*
g - b*(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - d*f*(b*g - a*h)*(m + n + p
+ 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[m]

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+a \sec (e+f x))^{3/2}}{(c+d \sec (e+f x))^3} \, dx &=-\frac{\left (a^2 \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+a x}{x \sqrt{a-a x} (c+d x)^3} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))^2}-\frac{(a \tan (e+f x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{2 a^2 (c+d)+\frac{3}{2} a^2 (c-d) x}{x \sqrt{a-a x} (c+d x)^2} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{2 c (c+d) f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))^2}+\frac{a^2 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) \tan (e+f x)}{4 c^2 (c+d)^2 f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}-\frac{\tan (e+f x) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{2 a^3 (c+d)^2+\frac{1}{4} a^3 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) x}{x \sqrt{a-a x} (c+d x)} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{2 c^2 (c+d)^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))^2}+\frac{a^2 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) \tan (e+f x)}{4 c^2 (c+d)^2 f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}-\frac{\left (a^3 \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a-a x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{c^3 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}-\frac{\left (a^3 \left (3 c^3-15 c^2 d-20 c d^2-8 d^3\right ) \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a-a x} (c+d x)} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{8 c^3 (c+d)^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))^2}+\frac{a^2 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) \tan (e+f x)}{4 c^2 (c+d)^2 f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}+\frac{\left (2 a^2 \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-\frac{x^2}{a}} \, dx,x,\sqrt{a-a \sec (e+f x)}\right )}{c^3 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}+\frac{\left (a^2 \left (3 c^3-15 c^2 d-20 c d^2-8 d^3\right ) \tan (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{c+d-\frac{d x^2}{a}} \, dx,x,\sqrt{a-a \sec (e+f x)}\right )}{4 c^3 (c+d)^2 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{2 a^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a}}\right ) \tan (e+f x)}{c^3 f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}+\frac{a^{5/2} \left (3 c^3-15 c^2 d-20 c d^2-8 d^3\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a-a \sec (e+f x)}}{\sqrt{a} \sqrt{c+d}}\right ) \tan (e+f x)}{4 c^3 \sqrt{d} (c+d)^{5/2} f \sqrt{a-a \sec (e+f x)} \sqrt{a+a \sec (e+f x)}}+\frac{a^2 (c-d) \tan (e+f x)}{2 c (c+d) f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))^2}+\frac{a^2 \left (3 c^2-7 c d-4 d^2\right ) \tan (e+f x)}{4 c^2 (c+d)^2 f \sqrt{a+a \sec (e+f x)} (c+d \sec (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 24.5808, size = 3190, normalized size = 10.29 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + a*Sec[e + f*x])^(3/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^3,x]

[Out]

((d + c*Cos[e + f*x])^3*Sec[(e + f*x)/2]^3*Sec[e + f*x]^2*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^(3/2)*(-((-5*c^2 + 7*c*d + 6*
d^2)*Sin[(e + f*x)/2])/(8*c^3*(c + d)^2) + (c*d^2*Sin[(e + f*x)/2] - d^3*Sin[(e + f*x)/2])/(4*c^3*(c + d)*(d +
c*Cos[e + f*x])^2) + (-7*c^2*d*Sin[(e + f*x)/2] + 7*c*d^2*Sin[(e + f*x)/2] + 8*d^3*Sin[(e + f*x)/2])/(8*c^3*(
c + d)^2*(d + c*Cos[e + f*x]))))/(f*(c + d*Sec[e + f*x])^3) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Cos[(e + f*x)/4]^2*(d + c*C
os[e + f*x])^3*(c*(11*c^2 + 9*c*d + 4*d^2)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqr
t[2]] + 16*(c + d)^3*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]
] + (3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c
- d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c
+ d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]
))*Sec[(e + f*x)/2]^3*((7*Cos[(e + f*x)/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(16*(c + d)^2*(d + c*Cos[e + f*x])) + (d*Cos[(e
+ f*x)/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(16*c*(c + d)^2*(d + c*Cos[e + f*x])) + (Cos[(3*(e + f*x))/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]
])/(4*(c + d)^2*(d + c*Cos[e + f*x])) + (d*Cos[(3*(e + f*x))/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(2*c*(c + d)^2*(d + c*Cos[
e + f*x])) + (d^2*Cos[(3*(e + f*x))/2]*Sqrt[Sec[e + f*x]])/(4*c^2*(c + d)^2*(d + c*Cos[e + f*x])))*Sec[e + f*x
]^2*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^(3/2)*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e
+ f*x)/4]^2])/(4*c^3*(c + d)^3*f*(c + d*Sec[e + f*x])^3*((Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*(3 + 2*Sqrt[2])*(c*(11*c^2 + 9*
c*d + 4*d^2)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 16*(c + d)^3*EllipticP
i[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d
^2 - 8*d^3)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e +
f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[
c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Tan[(e +
f*x)/4]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(16*c^3*(c + d)^3*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*
x)/4]^2]) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*(-3 + 2*Sqrt[2])*(c*(11*c^2 + 9*c*d + 4*d^2)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4
]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 16*(c + d)^3*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sq
rt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(
c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]
] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqr
t[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/4]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*
x)/4]^2])/(16*c^3*(c + d)^3*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]) + (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Cos[(e + f*x
)/4]*(c*(11*c^2 + 9*c*d + 4*d^2)*EllipticF[ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 16
*(c + d)^3*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (3*c^3
- 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*(EllipticPi[-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)
), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3
*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sqrt[Se
c[e + f*x]]*Sin[(e + f*x)/4]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f
*x)/4]^2])/(8*c^3*(c + d)^3) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Cos[(e + f*x)/4]^2*(c*(11*c^2 + 9*c*d + 4*d^2)*EllipticF[A
rcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + 16*(c + d)^3*EllipticPi[-3 + 2*Sqrt[2], -ArcSi
n[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + (3*c^3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*(EllipticPi[
-(((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)), -ArcSin[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[
2]]], 17 - 12*Sqrt[2]] + EllipticPi[((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d))/(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] + d), -ArcSin
[Tan[(e + f*x)/4]/Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]], 17 - 12*Sqrt[2]]))*Sec[e + f*x]^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sq
rt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2])/(8*c^3*(c + d)^3) - (Sqrt[3 - 2*Sqrt[
2]]*Cos[(e + f*x)/4]^2*Sqrt[Sec[e + f*x]]*Sqrt[1 + (-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sqrt[1 - (3 + 2*Sqrt[2
])*Tan[(e + f*x)/4]^2]*((c*(11*c^2 + 9*c*d + 4*d^2)*Sec[(e + f*x)/4]^2)/(4*Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e
+ f*x)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]) - (4*(c + d)^3
*Sec[(e + f*x)/4]^2)/(Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e + f*x)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt
[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]*(1 - ((-3 + 2*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2]))) + (3*c^
3 - 15*c^2*d - 20*c*d^2 - 8*d^3)*(-Sec[(e + f*x)/4]^2/(4*Sqrt[3 - 2*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e + f*x)/4]^2/(3 -
2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*Sqrt[2])]*(1 + ((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d)*Ta
n[(e + f*x)/4]^2)/((3 - 2*Sqrt[2])*(3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)] - d)))) - Sec[(e + f*x)/4]^2/(4*Sqrt[3 - 2
*Sqrt[2]]*Sqrt[1 - Tan[(e + f*x)/4]^2/(3 - 2*Sqrt[2])]*Sqrt[1 - ((17 - 12*Sqrt[2])*Tan[(e + f*x)/4]^2)/(3 - 2*
Sqrt[2])]*(1 - ((-3 + 2*Sqrt[2])*(c + d)*Tan[(e + f*x)/4]^2)/((3 - 2*Sqrt[2])*(-3*c + 2*Sqrt[2]*Sqrt[c*(c - d)
] + d)))))))/(4*c^3*(c + d)^3)))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 10.07, size = 234091, normalized size = 755.1 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^3,x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 79.1484, size = 6322, normalized size = 20.39 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/8*((3*a*c^3*d^2 - 15*a*c^2*d^3 - 20*a*c*d^4 - 8*a*d^5 + (3*a*c^5 - 15*a*c^4*d - 20*a*c^3*d^2 - 8*a*c^2*d^3
)*cos(f*x + e)^3 + (3*a*c^5 - 9*a*c^4*d - 50*a*c^3*d^2 - 48*a*c^2*d^3 - 16*a*c*d^4)*cos(f*x + e)^2 + (6*a*c^4*
d - 27*a*c^3*d^2 - 55*a*c^2*d^3 - 36*a*c*d^4 - 8*a*d^5)*cos(f*x + e))*sqrt(-a/(c*d + d^2))*log((2*(c*d + d^2)*
sqrt(-a/(c*d + d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (a*c + 2*a*d)*cos(f*x
+ e)^2 - a*d + (a*c + a*d)*cos(f*x + e))/(c*cos(f*x + e)^2 + (c + d)*cos(f*x + e) + d)) - 8*(a*c^2*d^2 + 2*a*
c*d^3 + a*d^4 + (a*c^4 + 2*a*c^3*d + a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^3 + (a*c^4 + 4*a*c^3*d + 5*a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)
*cos(f*x + e)^2 + (2*a*c^3*d + 5*a*c^2*d^2 + 4*a*c*d^3 + a*d^4)*cos(f*x + e))*sqrt(-a)*log((2*a*cos(f*x + e)^2
- 2*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + a*cos(f*x + e) - a)/(cos(f*x
+ e) + 1)) - 2*((5*a*c^4 - 7*a*c^3*d - 6*a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (3*a*c^3*d - 7*a*c^2*d^2 - 4*a*c*d^3)*co
s(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/((c^7 + 2*c^6*d + c^5*d^2)*f*cos(f*x + e)^3
+ (c^7 + 4*c^6*d + 5*c^5*d^2 + 2*c^4*d^3)*f*cos(f*x + e)^2 + (2*c^6*d + 5*c^5*d^2 + 4*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f*cos
(f*x + e) + (c^5*d^2 + 2*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f), -1/8*(16*(a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3 + a*d^4 + (a*c^4 + 2*a*c^3*d +
a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^3 + (a*c^4 + 4*a*c^3*d + 5*a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*cos(f*x + e)^2 + (2*a*c^3*d + 5*a*c
^2*d^2 + 4*a*c*d^3 + a*d^4)*cos(f*x + e))*sqrt(a)*arctan(sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)/
(sqrt(a)*sin(f*x + e))) + (3*a*c^3*d^2 - 15*a*c^2*d^3 - 20*a*c*d^4 - 8*a*d^5 + (3*a*c^5 - 15*a*c^4*d - 20*a*c^
3*d^2 - 8*a*c^2*d^3)*cos(f*x + e)^3 + (3*a*c^5 - 9*a*c^4*d - 50*a*c^3*d^2 - 48*a*c^2*d^3 - 16*a*c*d^4)*cos(f*x
+ e)^2 + (6*a*c^4*d - 27*a*c^3*d^2 - 55*a*c^2*d^3 - 36*a*c*d^4 - 8*a*d^5)*cos(f*x + e))*sqrt(-a/(c*d + d^2))*
log((2*(c*d + d^2)*sqrt(-a/(c*d + d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) + (a
*c + 2*a*d)*cos(f*x + e)^2 - a*d + (a*c + a*d)*cos(f*x + e))/(c*cos(f*x + e)^2 + (c + d)*cos(f*x + e) + d)) -
2*((5*a*c^4 - 7*a*c^3*d - 6*a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (3*a*c^3*d - 7*a*c^2*d^2 - 4*a*c*d^3)*cos(f*x + e))*sq
rt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/((c^7 + 2*c^6*d + c^5*d^2)*f*cos(f*x + e)^3 + (c^7 + 4*c^6
*d + 5*c^5*d^2 + 2*c^4*d^3)*f*cos(f*x + e)^2 + (2*c^6*d + 5*c^5*d^2 + 4*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f*cos(f*x + e) + (c
^5*d^2 + 2*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f), -1/4*((3*a*c^3*d^2 - 15*a*c^2*d^3 - 20*a*c*d^4 - 8*a*d^5 + (3*a*c^5 - 15*a*c
^4*d - 20*a*c^3*d^2 - 8*a*c^2*d^3)*cos(f*x + e)^3 + (3*a*c^5 - 9*a*c^4*d - 50*a*c^3*d^2 - 48*a*c^2*d^3 - 16*a*
c*d^4)*cos(f*x + e)^2 + (6*a*c^4*d - 27*a*c^3*d^2 - 55*a*c^2*d^3 - 36*a*c*d^4 - 8*a*d^5)*cos(f*x + e))*sqrt(a/
(c*d + d^2))*arctan((c + d)*sqrt(a/(c*d + d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)/(a*sin(f*
x + e))) - 4*(a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3 + a*d^4 + (a*c^4 + 2*a*c^3*d + a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^3 + (a*c^4 + 4*a*c^
3*d + 5*a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*cos(f*x + e)^2 + (2*a*c^3*d + 5*a*c^2*d^2 + 4*a*c*d^3 + a*d^4)*cos(f*x + e))*sq
rt(-a)*log((2*a*cos(f*x + e)^2 - 2*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)*sin(f*x + e)
+ a*cos(f*x + e) - a)/(cos(f*x + e) + 1)) - ((5*a*c^4 - 7*a*c^3*d - 6*a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (3*a*c^3*d -
7*a*c^2*d^2 - 4*a*c*d^3)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/((c^7 + 2*c^6*d
+ c^5*d^2)*f*cos(f*x + e)^3 + (c^7 + 4*c^6*d + 5*c^5*d^2 + 2*c^4*d^3)*f*cos(f*x + e)^2 + (2*c^6*d + 5*c^5*d^2
+ 4*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f*cos(f*x + e) + (c^5*d^2 + 2*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f), -1/4*((3*a*c^3*d^2 - 15*a*c^2*d^3
- 20*a*c*d^4 - 8*a*d^5 + (3*a*c^5 - 15*a*c^4*d - 20*a*c^3*d^2 - 8*a*c^2*d^3)*cos(f*x + e)^3 + (3*a*c^5 - 9*a*c
^4*d - 50*a*c^3*d^2 - 48*a*c^2*d^3 - 16*a*c*d^4)*cos(f*x + e)^2 + (6*a*c^4*d - 27*a*c^3*d^2 - 55*a*c^2*d^3 - 3
6*a*c*d^4 - 8*a*d^5)*cos(f*x + e))*sqrt(a/(c*d + d^2))*arctan((c + d)*sqrt(a/(c*d + d^2))*sqrt((a*cos(f*x + e)
+ a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)/(a*sin(f*x + e))) + 8*(a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3 + a*d^4 + (a*c^4 + 2*a*c^3*d + a
*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^3 + (a*c^4 + 4*a*c^3*d + 5*a*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*cos(f*x + e)^2 + (2*a*c^3*d + 5*a*c^2
*d^2 + 4*a*c*d^3 + a*d^4)*cos(f*x + e))*sqrt(a)*arctan(sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*cos(f*x + e)/(s
qrt(a)*sin(f*x + e))) - ((5*a*c^4 - 7*a*c^3*d - 6*a*c^2*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (3*a*c^3*d - 7*a*c^2*d^2 - 4*a*c
*d^3)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e) + a)/cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/((c^7 + 2*c^6*d + c^5*d^2)*f*cos(f*x
+ e)^3 + (c^7 + 4*c^6*d + 5*c^5*d^2 + 2*c^4*d^3)*f*cos(f*x + e)^2 + (2*c^6*d + 5*c^5*d^2 + 4*c^4*d^3 + c^3*d^
4)*f*cos(f*x + e) + (c^5*d^2 + 2*c^4*d^3 + c^3*d^4)*f)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (a \left (\sec{\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{\frac{3}{2}}}{\left (c + d \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{3}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))**(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))**3,x)

[Out]

Integral((a*(sec(e + f*x) + 1))**(3/2)/(c + d*sec(e + f*x))**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sec(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sec(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out